Geometria Plana



TEOREMA I
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales

Sean AC y BD dos rectas que se cortan en O
      • ·         <AOB + < BOC = 2rt,
      • ·         <BOC + <COD = 2rt (43)
      • ·         Entonces <AOB + <BOC = <BOC + COD (53,6)
      • ·         Entonces <AOB = <COD


TEOREMA II
Si dos lados de un triangulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro ángulo, los dos triángulos son iguales


Sean ABC, XYZ dos triángulos en que AB = XY, AC = XZ, y <A = <B
·         Entonces B caera sobre Y
·         AC tomara la dirección de XZ
·         C caera sobre Z
·         Entonces, CB coincidirá con ZY    (53.1)
·         Entonces los dos triangulos son congurnentes y por tanto iguales

TEOREMA III
Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado

Sean ABC, XYZ dos triangulos en que los angulos A y B son iguales respectivamente alos X e Y, y AB es igual a XY
·         Coloquese el triangulo ABC sobre el XYZ de suerte que AB conicida con su igual XY (53, 5)
·         Los lados AC y BC tomaran respectivamente las direcciones XZ, YZ
·         Entonces C caera sobre Z  (55)
·         Entonces Los dos triangulos son iguales (16)


TEOREMA IV
En todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales

Sea ABC un triangulo isósceles en que Ac es igual a BC
·         AC = BC (Por hipótesis)
·         CD = CD, (identidad)
·         <ACD = <DCB
·         Entonces ACD = BDC (68)
·         Entonces <A = <B

TEOREMA V
Si dos ángulos de un triangulo son iguales, los lados opuestos son iguales, y el triangulo es por tanto isósceles

Sea ABC un triangulo en que los angulos A y B son iguales
·         Supóngase que el triangulo es el triangulo ABC transportado a otra posición
·         Volteese el triangulo A’B’C’ y colóquese sobre el ABC de sierte B’ caiga en A y A’ en B
·         El lado B’A’ coincidirá con AB (53,1)
·         <A’ = <B’ (Hipotesis)
·         <A = < A’ (Hipotesis)
·         Entonces <A = < B’ (52,7)
·         Entonces B’C’ tomara la dirección de AC
·         Asi mismo A’C’ caera a la vez en AC y BC, y por tanto en C
·         Entonces B’C’ = AC
·         Pero B’C’ es lo mismo que BC
·         Entonces BC = AC
TEOREMA VI
Si los tres lados de un triangulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son iguales

Sean ABC, A’B’C’ dos triangulos en que AB es igual a A’B’, BC a B’C’, y CA a C’A’
·         Sean AB y A’B’ los lados mayores de los dos triangulos
·         Volteese el triangulo A’B’C’ y colóquese de modo que A’B’ coincida con AB
·         El vértice C’ caera abajo del lado AB, como se ve, y por tanto el triangulo A’B’C’ quedara en la posición ABC’
·         Tracese CC’
·         Ahora bien, AC =AC’, BC = BC’ (hipotesis)
·         Entonces <ACC’ = <CC’A, y <C’CA = <BC’C (74)
·         Entonces <ACC’ + <CC’A, + <C’CA + <BC’C  (52,1)
·         <ABC  = <BC’A
·         Entonces ABC = ABC’
·         Entonces ABC = <A’B’C’
TEOREMA VII
Si de un punto situado en el interior de un triangulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados, la suma de estas rectas es menos que la suma de los otros dos lados de un triangulo

Sean PA y PB dos rectas trazadas del puntp interior P del triangulo ABC a los extremos del lado AB
·         Prolonguese AP hasta su intersección Q con el lado CB (53,2)
·         Ahora bien CA + CB > PA + PQ (53,3)
·         Asi mismo BQ+ PQ > PB (53,3)
·         CA + CQ + BQ + PQ > PA + PQ + PB (52,5)
·         Remplazando CQ + BQ por su igual CB:
·         CA + CB +PQ > PA + PQ + PB (52,8)
·         Restando {Q de los dos miembros de la desigualdad resulta
·          CA + CB > PA + PB
TEOREMA VIII
De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular

Sean P un punto exterior a la recta XY; PO una perpendicular bajada de P a XY, y PZ otra recta cualquiera trazada de p a XY
·         Prolonguese PO hasta P’, haciendo OP’igual la perpendicular OP (53,2)
·         Tracese P’Z (53,1)
·         POP’es una recta (contruccion)
·         Entonces PZP’no es una recta (53,1)
·         Entonces el <P’ZP no es de lados colineales
·         Ahora bien, < POZ y <ZOP’son rectos (27)
·         Entonces <POZ y <ZOP’(56)
·         PO = OP’
·         OZ = OZ
·         Entonces OPZ = OP’Z (68)
·         También <OZP = OZP’
·         Entonces OZP, mitad del < P’ZP, no es recto (34)
·         Entonces PZ no es perpendicular a XY (27)

TEOREMA IX
Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a la recta dos oblicuas cuyos pies estén a igual distancia del peo de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman ángulos iguales con la perpendicular

Sea PO una perpendicular a XY, y sean PA y PB dos oblicuas trazadas de P aXY de tal suerte que OA sea igual a OB
·         En los triangulos POA, BOP,
·         <POA y <BOP son rectos
·         Entonces <POA = <POB (56)
·         OA = OB Por hipótesis
·         PO = PO (identidad)
·         Entonces AOP = BOP (68)
·         Entonces PA = PB
·         <APO = <BPO (67)
TEOREMA X
Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no equidisten del de la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.

Sean PO una perpendicular a XY, y PA, PC dos oblicuas. Se supone que OA es mayor a OC
·         Tomese OB igual a OC, y tracese PB
·         Entonces PB = PC (83)
·         En PO prolongada tomese OP’ = OP, y tracese P’A, P’B
·         Entonces PA = P’A, y PB = P’B (83)
·         Ahora bien, PA + P’A > PB + P’B (81)
·         Entonces 2 PA > 2PB, y PA > PB (52,8 y 4)
·         Entonces PA > PC (52,8)
TEOREMA XI
La perpendicular es la más corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella.

Sea P un punto situado fuera de la recta XY. Sean PO la perpendicular bajada de P a XY, y PZ una oblicua cualquiera.
·         Prolonguese PO hasta P’ de suerte que OP’ sea igual a PO, y tracese P’Z
·         Entonces se tendrá PZ = P’Z
·         Entonces PZ + P’Z =2PZ (52,8)
·         PO +P’P = 2PO (52,8)
·         PO +P’O < PZ + P’Z
·         Entonces 2PO < 2PZ
·         Entonces PO < PZ (52,5)
TEOREMA XII
Dos triángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto del otro.

Sean ABC, A’B’C’ dos triangulos rectángulos tales que la hipotenusa AC es igual a la A’C’, y el cateto BC al B’C’
·         Coloquese el triangulo ABC al lado del A’B’C’ de suerte que BC caiga sobre B’C’y A y A’ queden en lados opuestos de B’C’
·         Entonces BA caera sobre la prolongación de A’B’ (43)
·         Se tiene además AC’ = A’C’
·         Entonces AB’ = A’B’
·         Entonces el triangulo ABC = al triangulo A’B’C’ (80)


TEOREMA XIII
Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes a ella

Sean ABC, A’B’C’  dos triangulos rectángulos en que las hipotenusas AC y A’C’son iguales, y el angulo A es igual a A’

·         C caera sobre C’
·         AB tomara la dirección de A’B’
·         Puesto q C coincide con C’ y los angulos B y B’ son rectos
·         CB coincidirá con C’B’
·         Entonces el triangulo ABC = al triangulo A’B’C’
TEOREMA XIV
Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera no pueden encontrarse, por más que se prologuen

Sean AB y CD dos rectas perpendiculares a otra recta XY
·         SI AB y CD prolongadas pudieran encontrarse en un punto, se tendrían dos perpendiculares bajadas de un mismo punto a una recta, lo cual es imposible (82) 
·         Entonces AB y CD prolongadas no pueden encontrarse

TEOREMA XV
Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.

Sean AB y CD dos paralelas, y XY una perpendicular a AB. Sea P el punto de intersección de CD y XY
·         Supongase que por el punto P se traza MN perpendicular a XY
·         MN de ser paralelar a AB (95)
·         Pero CD es paralela a AB (hipotesis)
·         Entonces CD y MN deben coincidir (94)
·         Ahora bien XY es perpendicular a MN (hipotesis)
·         Entonces XY es perpendicular a CD
TEOREMA XVI
Si dos paralelas son cortadas por una transversal los ángulos alternos – internos son iguales.

Sean AB y CD dos paralelas cortadas por la tranversal XY en los puntos P y Q respectivamente
·         MN es perpendicular a AB (97)
·         Ahora bien los triangulos PMO y QNO son rectángulos (63)
·         Tambien se tiene: <POM = < QON (60)
·         OP = OQ (hipotesis)
·         Entonces PMO = QNO (91)
·         Entonces <APQ = <DQP
TEOREMA XVII
Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una transversal ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas

Sea Xy una tranversal que forma con las rectas AB y CD los angulos alternos-internos iguales APQ, DQP
·         <MPQ = <DQP (100)
·         <APQ = <DQP (hipotesis)
·         Entonces <APQ = <MPQ (52,7)
·         Entonces AB y MN deben coincidir (23)
·         Sabemos que MN es paralelo a CD (hipotesis)
·         Entonces AB, que coincide con MN, es paralela a CD (hipotesis)
·         Entonces AB, que conicide con MN, es paralela a CD
TEOREMA XVIII
Si dos paralelas son cortadas por una transversal los anglos correspondientes son iguales

Sean AB, CD dos paralelas cortadas por la transversal XY en los puntos P y Q respectivamente
·         <BPX = <APQ (60)
·         <APQ = <DQX
·         Entonces <BPX = < DQX (52,7)
TEOREMA XIX
La suma de los tres ángulos de un triangulo es igual a dos rectos

Sean ABC un traingulo cualquera
·         Tracese BY paralela a AC, y prolónguese AB hasta X
·         <XBY + <YBC + <CBA = 2rt. (34)
·         También <A = <XBY (102)
·         Y además, <C = <YBC (100)
·         Entonces <A + <B + <C = 2 rt
TEOREMA XX
La suma de los dos lados cualesquiera de un triangulo es mayor que el tercer lado: y la diferencia, menor.

Sea AB el lado mayor del triangulo ABC
·         BC + CA > AB (53,3)
·         De la desigualdad BC + CA > AB
·         Se deduce CA > AB – BC (52,4)
·         Entonces AB – BC < CA
TEOREMA XXI
Si dos lados de un triangulo son desiguales, al mayor lado se opone mayor ángulo.

TEOREMA XXII
SI dos ángulos de un triangulo son desiguales al mayor ángulo se opone mayor lado.

demostrar que:
BC  > AC

Demostración:
  • si  BC  fuera = CA
  • los angulos  A y B  serian iguales    por teorema 4
  • CA       >        BC  el angulo B  seria mayor a < A
  •  por teorema 21
  • ahora bien, la igualdad < A = < B
  • <A     <      < B
  • por lo tanto BC  > AC l.q..q.d

TEOREMA XXIII
Si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el ángulo comprendido por los dos primeros es mayor que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo.



demostrar que:
AB       >     XY

demostración:
·         sean ABC y  XYZ   2 triangulos en que AC =  XZ
·         BC= YZ,  y el angulo C      >   <Z
·         colocamos   el triangulo  XYZ   de modo que  XZ coincida con  AC,
·         el lado YZ caera dentrodel angulo  YCB
·         trazamos  PY ahora bien CP =  CP  por identidad}
·         CY = CB por hipot.
·         <YCP = < PCB por construccion }
·         por lo tanto el triengulo PYC = PBC  por teorema 2
·         por lo tanto  PY = PB  por corolario 1
·         tbm AP + PY  es mayor  que  AY  por post. 3
·         por lo tanto AP + PB   >   AY  por axioma 8
·         AB   >   AY
·         AB   >    XY    por axioma 8 l.q.q.d
TEOREMA XXIV
Si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el ángulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triangulo que en el segundo.

demostrar que:
<C   >      <Z     

demostración:
·         sean ABC y  XYZ   2 triangulos en que AC =  XZ
·         BC= YZ,  y AB  >  XY

·         si C = Z
·         el triangula ABC = XYZ por teorema 2
·         AB= XY  por corolario 1
·         c < z
·         AB < XY  por teorema 23
·         por lo tanto    <C   >      <Z      l.q.q.d
TEOREMA XXV
Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a los de otro, los dos ángulos son o iguales o suplementarios

TEOREMA XXVI
En todo paralelogramo, cada lado es igual a su opuesto.

TEOREMA XXVII
Si cada lado de un cuadrilátero es igual a un opuesto, el cuadrilátero es un paralelogramo.

TEOREMA XXVIII
Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos, los otros dos también lo son, y por tanto el cuadrilátero es un paralelogramo.

TEOREMA XXIX
Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.

TEOREMA XXX
Si dos lados adyacentes de un paralelogramo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a los de otro, los dos paralelogramos son iguales.

TEOREMA XXXI
Si lo segmentos determinados en una transversal por tres o más paralelas son iguales, también son iguales los determinados en cualquiera otra transversal por las mismas paralelas.

TEOREMA XXXII
La suma de los ángulos internos de un polígono es igual a dos rectos multiplicando por el número de lados menos dos.

TEOREMA XXXIII
La suma de los ángulos externos de un polígono, formados prolongando los lados sucesivamente, es igual a cuatro rectos.

TEOREMA XXXIV
La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de la recta.

TEOREMA XXXV
El lugar geométrico de los puntos equidistan de dos rectas que se cortan consta de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas

TEOREMA XXXVI
En un mismo círculo o en círculos iguales, ángulos centrales iguales interceptan arcos iguales; y el mayor de dos ángulos desiguales intercepta mayor arco.

TEOREMA XXXVII
En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales subtienden ángulos centrales iguales; y el mayor de dos arcos desiguales subtiende mayor ángulo central que el menor.

TEOREMA XXXVIII
En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales subtendidos por cuerdas iguales, y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda

TEOREMA XXXIX
En un mismo círculo o en círculos iguales, cuerdas iguales subtienden arcos iguales, y la mayor de dos cuerdas desiguales subtiende el mayor arco.

TEOREMA XXXX
La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda bisecta la cuerda y los arcos subtendidos.